Komplexe Zahlen
Weil die Gleichung x² = -1 in R keine Lösung hat wird R um die imaginäre Einheit j erweitert.
(3 Bilder komplexe Zahl, Realteil, Imaginärteil) in Polarform
Darstellungsformen
Kartesische Form:
z = x * y j
Exponentialform / Polarform:
z = |z| * e ^j Φ
Trigonometrische Form:
z = |z| ( cos(Φ) + sin(Φ) j)
Kartesische Form---> Exponentialform / Polarform
|z| = √x² + y²
Φ = arctan (y / x)
<-- + 2πk ergänzen aber nur mit arctan(y/x) berechnen!
<-- Quadranten beachten bei negativem Imaginärteil
(1 Quadrant + 0°; 2 Quadrant + 90°; 3 Quadrant + 180°; 4 Quadrant + 0°)
Exponentialform / Polarform ---> Kartesische Form
x = |z| * cos(Φ)
y = |z| * sin(Φ)
Exponentialform / Polarform ---> Trigonometrische Form- Durch einfaches ablesen von |z| und Φ
Trigonometrische Form ---> Exponentialform / Polarform
- Durch einfaches ablesen von |z| und Φ
- auf + Zeichen zwischen sin und cos achten (- Zeichen ins Argument ziehen)
Rechnen mit komplexen Zahlen
addieren / subtrahieren
- nur in kartesischer Form
- Realteil getrennt vom Imaginärteil addieren
z1 + z2 = (x1 + x2) + j (y1 +y2)
z1 - z2 = (x1 - x2) + j (y1 -y2)
multiplizieren / dividieren
- bevorzugt in trigonometrischer Form, jedoch auch in kartesischer Form möglich
z1 * z2 = (x1 * x2 - y1 * y2) + j (x1 * y2 + x2 * y1)
z1 / z2 = ((x1 * x2 - y1 * y2) / (x2² + y2²)) + (j (x2 * y1 - x1 * y2) / (x2² + y2²))
konjugiert komplexe Zahl
Absolutbetrag
|z| = √a² + b²
Berechnung von Potenzen
- Mithilfe der Formel von de Moivre ( [cos(Φ) + sin (Φ) j]^n = cos(n * Φ) + sin(n * Φ) j )
Potenzen der Imaginären Einheit auf dem Einheitskreis
Berechnung von Wurzeln
- Mithilfe der Formel: n√z = n√|z| * e ^ ((Φ + 2 π * k) / n)
Wurzeln der Imaginären Einheit auf dem Einheitskreis
Gaußsche Zahlenebene / komplexe Ebene / trigonometrische Form
Realteil wird an der X-Achse angetragen.
Imaginärteil wird an der Y-Achse angetragen.
Die komplexe Zahl z ist der Pfeil.